Chứng minh bằng phân tích nhân tử (dựa trên nguyên tắc đầu tiên)

Tóm tắt chứng minh

Bằng định nghĩa, nếu f , g : R → R {\displaystyle f,g:\mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R} } là khả vi tại x {\displaystyle x} thì

f ( x + h ) = f ( x ) + f ′ ( x ) h + ψ 1 ( h ) g ( x + h ) = g ( x ) + g ′ ( x ) h + ψ 2 ( h ) {\displaystyle f(x+h)=f(x)+f'(x)h+\psi _{1}(h)\qquad \qquad g(x+h)=g(x)+g'(x)h+\psi _{2}(h)}

sao cho lim h → 0 ψ 1 ( h ) h = lim h → 0 ψ 2 ( h ) h = 0 {\displaystyle \lim _{h\to 0}{\frac {\psi _{1}(h)}{h}}=\lim _{h\to 0}{\frac {\psi _{2}(h)}{h}}=0} , cũng viết thành ψ 1 , ψ 2 ∼ o ( h ) {\displaystyle \psi _{1},\psi _{2}\sim o(h)} . Do đó:

f g ( x + h ) − f g ( x ) = ( f ( x ) + f ′ ( x ) h + ψ 1 ( h ) ) ( g ( x ) + g ′ ( x ) h + ψ 2 ( h ) ) − f g ( x ) = f ′ ( x ) g ( x ) h + f ( x ) g ′ ( x ) h + O ( h ) {\displaystyle {\begin{aligned}fg(x+h)-fg(x)=(f(x)+f'(x)h+\psi _{1}(h))(g(x)+g'(x)h+\psi _{2}(h))-fg(x)=f'(x)g(x)h+f(x)g'(x)h+O(h)\\[12pt]\end{aligned}}}

Tìm giới hạn khi h {\displaystyle h} cực tiểu cho ta kết quả.

Quy tắc chuỗi

Quy tắc nhân có thể coi là trường hợp đặc biệt của quy tắc chuỗi với nhiều biến.

d ( a b ) d x = ∂ ( a b ) ∂ a d a d x + ∂ ( a b ) ∂ b d b d x = b d a d x + a d b d x . {\displaystyle {\displaystyle {d(ab) \over dx}={\frac {\partial (ab)}{\partial a}}{\frac {da}{dx}}+{\frac {\partial (ab)}{\partial b}}{\frac {db}{dx}}=b{\frac {da}{dx}}+a{\frac {db}{dx}}.}}

Giải tích không chuẩn

Giải thích cực tiểu trơn